几何画板解析2017年浙江杭州中考倒二 （函数相关）
2017年浙江杭州中考倒二（函数相关）
（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
图文解析：
（1）简析：将点（1，﹣2），代入函数y1的解析式得：（a+1）（﹣a）=﹣2，解得a1=﹣2，a2=1，所以函数y1的表达式y1=（x﹣2）（x+2－1）（两个值代入，得到的答案相同），即y1=x2﹣x﹣2；
（2）由“一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点”知：x轴上的这一点既符合y1的解析式，又符合y2的解析式.因此可先求出y1的图象与x轴的交点，再将交点坐标代入y2的解析式即可找到a与b满足的关系式.答案如下：
当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，所以y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0）.
当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，
﹣a2+b=0，即b=a2；
当y2=ax+b经过（a+1，0）时，
a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；
（3）观察动态演示（自动演示）
由于函数y1的图象的对称轴是直线x＝0.5，且开口向上，因此在对称轴的两侧的函数值y与x之间的变化规律（增减性或单调性）不受a的值的影响。同时（1，n）和（0，n）是对称点（关于抛物线的对称轴对称）.如下图示：
当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，由m＜n，得0＜x0≤0.5；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得0.5＜x0＜1，
综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．
反思：本小题解决的关键是充分通过函数图象，根据二次函数的性质，同时要注意分类讨论．
拓展：若将第（3）问中的“m<n”改为“m＞n”，则答案将变为：x<0或x＞1.
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